检测点是否在扇形之内
前几天，同事在报告中提及检测角色是否在扇形攻击范围的方法。我觉得该方法的性能不是太好，提出另一个颇为直接的方法。此问题在游戏中十分常见，只涉及简单的数学，却又可以看出实现者是否细心，所以我觉得可当作一道简单的面试题。问题在微博发表后得到不少回应，故撰文提供一些解答。
问题定义
在二维中，检测点$\mathbf{p}$是否在扇形（circular sector）内，设扇形的顶点为$\mathbf{c}$，半径为$r$，从$\mathbf{\hat{u}}$方向两边展开$\theta$角度。
当中 $\mathbf{p},\mathbf{c},\mathbf{\hat{u}}$ 以直角坐标（cartesian coordinates）表示，$r>0$，$0 < \theta < \pi$。$\mathbf{p}$在扇形区边界上当作不相交。实现时所有数值采用单精度浮点数类型。
问题分析
许多相交问题都可以分拆为较小的问题。在此问题中，扇形可表示为圆形和角度区间的交集。
换句话说，问题等同于检测 $\mathbf{p}$ 和 $\mathbf{c}$ 的距离小于 $r$，及 $\mathbf{p-c}$ 的方向在 $\mathbf{\hat{u}}$ 两边 $\theta$ 的角度范围内。
距离
$\mathbf{p}$ 和 $\mathbf{c}$ 的距离小于 $r$，用数学方式表示：
极坐标
这是比较麻烦的部分，也是本题的核心。
有人想到，可以把 $\mathbf{p-c}$ 和 $\mathbf{\hat{u}}$ 从直角坐标转换成极坐标（polar coordinates）。数学上，$\mathbf{p-c}$ 和 $\mathbf{\hat{u}}$ 分别与 $\mathbf{x}$ 轴的夹角可用atan2()函数求得：
然后，检查 $\phi$ 是否在 $(\alpha - \theta, \alpha + \theta)$ 区间内。但这要非常小心，因为 $(\alpha - \theta, \alpha + \theta)$ 区间可能超越 $(-\pi, \pi]$ 的范围，所以要检测：
这个方法是可行的，不过即使假设 $\mathbf{\hat{u}}$ 和 $\theta$ 是常数，可预计算 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ ，我们还是避免不了要计算一个atan2()。
点积
点积（dot product）可计算两个矢量的夹角，这非常适合本题的扇形表示方式。我们要检测 $\mathbf{p-c}$ 和 $\mathbf{\hat{u}}$ 的夹角是否小于 $\theta$：
相比极坐标的方法，点积算出来的夹角必然在 $[0, \pi]$ 区间里，无需作特别处理就可以和 $\theta$ 比较。
这是比较直观的角度比较方式。本文将以此方法为主轴。
编码与优化
若直接实现以距离和点积的检测，可以得到:
// Naive
bool IsPointInCircularSector(
float cx, float cy, float ux, float uy, float r, float theta,
float px, float py)
{
assert(cosTheta > -1 && cosTheta < 1);
assert(squaredR > 0.0f);
// D = P - C
float dx = px - cx;
float dy = py - cy;
// |D| = (dx^2 + dy^2)^0.5
float length = sqrt(dx * dx + dy * dy);
// |D| > r
if (length > r)
return false;
// Normalize D
dx /= length;
dy /= length;
// acos(D dot U) < theta
return acos(dx * ux + dy * uy) < theta;
}
优化版本1：基本优化
由于计算矢量长度需要sqrt()，而不等式$(\ref{eq:distance})$左右两侧都是非负数，所以可以把两侧平方:
如果 $r$ 为常数，我们可以预计算 $r^2$ 。
另外，如果$\theta$是常数，我们可以预计算 $\cos \theta$ ，然后把不等式$(\ref{eq:withinanglerange})$ 改为：
可以这么做，是因为 $\cos \theta$ 在 $0 \le \theta \le \pi$ 的区间内是单调下降的。
此外，由于除法一般较乘法慢得多，而 $\lVert \mathbf{p} - \mathbf{c} \rVert \ge 0$</span>，我们可以把 $\lVert\mathbf{p}-\mathbf{c} \rVert$ 调至右侧：
基于这两个可能预计算的参数，可把检测函数的参数由 $r$ 和 $\theta$ 改成 $r^2$ 和 $\cos \theta$ 。结合这些改动：
// Basic: use squareR and cosTheta as parameters, defer sqrt(), eliminate division
bool IsPointInCircularSector1(
float cx, float cy, float ux, float uy, float squaredR, float cosTheta,
float px, float py)
{
assert(cosTheta > -1 && cosTheta < 1);
assert(squaredR > 0.0f);
// D = P - C
float dx = px - cx;
float dy = py - cy;
// |D|^2 = (dx^2 + dy^2)
float squaredLength = dx * dx + dy * dy;
// |D|^2 > r^2
if (squaredLength > squaredR)
return false;
// |D|
float length = sqrt(squaredLength);
// D dot U > |D| cos(theta)
return dx * ux + dy * uy > length * cosTheta;
}
注意，虽然比较长度时不用开平方，在夹角的检测里还是要算一次开平方，但这也比必须算开平方好，因为第一个检测失败就不用算了。
优化版本2：去除开平方
然而，我们有办法去除开平方吗？
这或许是这解答中最难的问题。我们不能简单地把不等式$(\ref{eq:optimization1})$两侧平方:
因为两侧分别有可能是正数或负数。若把负数的一侧平方后，就会把负号清除了，我们必须把比较符号反转。
针对左右侧分别可以是负数和非负数四种情况，可以归纳为：
- 若左侧为非负数，右侧为非负数，检测 $((\mathbf{p-c}) \cdot \mathbf{\hat{u}})^2 > {\lVert\mathbf{p-c} \rVert}^2 \cos^2 \theta$；
- 若左侧为为负数，右侧为负数，检测 $((\mathbf{p-c}) \cdot \mathbf{\hat{u}})^2 < {\lVert\mathbf{p-c} \rVert}^2 \cos^2 \theta$；
- 若左侧为非负数，右侧为负数，那么不等式$(\ref{eq:optimization1})$一定成立；
- 若左侧为负数，右侧为非负数，那么不等式$(\ref{eq:optimization1})$一定不成立。
解释一下，在第2个情况中，先把两侧分别乘以-1，大于就变成小于，两侧就变成非负，可以平方。在实现中，若非第1个或第2个情况，只可能是第3个或第4个，所以只需分辨是3还是4，例如只检测左侧是否负数。
// Eliminate sqrt()
bool IsPointInCircularSector2(
float cx, float cy, float ux, float uy, float squaredR, float cosTheta,
float px, float py)
{
assert(cosTheta > -1 && cosTheta < 1);
assert(squaredR > 0.0f);
// D = P - C
float dx = px - cx;
float dy = py - cy;
// |D|^2 = (dx^2 + dy^2)
float squaredLength = dx * dx + dy * dy;
// |D|^2 > r^2
if (squaredLength > squaredR)
return false;
// D dot U
float DdotU = dx * ux + dy * uy;
// D dot U > |D| cos(theta)
// <=>
// (D dot U)^2 > |D|^2 (cos(theta))^2 if D dot U >= 0 and cos(theta) >= 0
// (D dot U)^2 < |D|^2 (cos(theta))^2 if D dot U < 0 and cos(theta) < 0
// true if D dot U >= 0 and cos(theta) < 0
// false if D dot U < 0 and cos(theta) >= 0
if (DdotU >= 0 && cosTheta >= 0)
return DdotU * DdotU > squaredLength * cosTheta * cosTheta;
else if (DdotU < 0 && cosTheta < 0)
return DdotU * DdotU < squaredLength * cosTheta * cosTheta;
else
return DdotU >= 0;
}
优化版本3：减少比较
在一些架构上，浮点比较和分支是较慢的操作。由于我们只是要检测数值是否负值，我们可以利用IEEE-754浮点数的二进制特性：最高位代表符号，0为正数，1为负数。
我们可把符号用位掩码（bit mask）分离出来，第1和第2个情况就变成比较左右侧的符号是否相等。我们还可以用OR把符号加到两侧平方，意义上就是当负数时把比较符号调换，
而第3个情况也可以直接用符号作比较。
// Bit trick
bool IsPointInCircularSector3(
float cx, float cy, float ux, float uy, float squaredR, float cosTheta,
float px, float py)
{
assert(cosTheta > -1 && cosTheta < 1);
assert(squaredR > 0.0f);
// D = P - C
float dx = px - cx;
float dy = py - cy;
// |D|^2 = (dx^2 + dy^2)
float squaredLength = dx * dx + dy * dy;
// |D|^2 > r^2
if (squaredLength > squaredR)
return false;
// D dot U
float DdotU = dx * ux + dy * uy;
// D dot U > |D| cos(theta)
// <=>
// (D dot U)^2 > |D|^2 (cos(theta))^2 if D dot U >= 0 and cos(theta) >= 0
// (D dot U)^2 < |D|^2 (cos(theta))^2 if D dot U < 0 and cos(theta) < 0
// true if D dot U >= 0 and cos(theta) < 0
// false if D dot U < 0 and cos(theta) >= 0
const unsigned cSignMask = 0x80000000;
union {
float f;
unsigned u;
}a, b, lhs, rhs;
a.f = DdotU;
b.f = cosTheta;
unsigned asign = a.u & cSignMask;
unsigned bsign = b.u & cSignMask;
if (asign == bsign) {
lhs.f = DdotU * DdotU;
rhs.f = squaredLength * cosTheta * cosTheta;
lhs.u |= asign;
rhs.u |= asign;
return lhs.f > rhs.f;
}
else
return asign == 0;
}
性能测试
上述所作的「优化」，其实只是从算法上著手，试图消除一些可能开销较高的操作。实际上不同的CPU架构的结果也会有所差异。所以我们必须实测才能得知，在某硬件、编译器上，「优化」是否有效。
时间所限，我只做了一个简单的性能测试（欠缺足够边界条件单元测试……）：
const unsigned N = 1000;
const unsigned M = 100000;
template <bool naiveParam, typename TestFunc>
float Test(TestFunc f, float rmax = 2.0f) {
unsigned count = 0;
for (int i = 0; i < N; i++) {
float cx = gCx[i];
float cy = gCy[i];
float ux = gUx[i];
float uy = gUy[i];
float r = naiveParam ? gR[i] : gSquaredR[i];
float t = naiveParam ? gTheta[i] : gCosTheta[i];
for (int j = 0; j < M; j++) {
if (f(cx, cy, ux, uy, r, t, gPx[j], gPy[j]))
count++;
}
}
return (float)count / (N * M);
}
我先用伪随机数生成一些测试数据，然后用两个循环共执行1亿次检测。这比较合乎游戏应用的情况，每次通常是检测M个角色是否在1个扇形之内，做N个迭代。
使用 VS2010，缺省设置加上/fp:fast，Win32/Release的结果:
NoOperation hit=0% time=0.376s
IsPointInCircularSector hit=30.531% time=3.964s
NoOperation hit=0% time=0.364s
IsPointInCircularSector1 hit=30.531% time=0.643s
IsPointInCircularSector2 hit=30.531% time=0.614s
IsPointInCircularSector3 hit=30.531% time=0.571s
NoOperation是指测试的函数只简单传回false，用来检测函循环、读取测试数据和函数调用的开销。之后测的时间会减去这个开销。
可以看到，在简单优化后，预计算 $\cos \theta$ 和 $r^2$，并延后sqrt()，性能大幅提升4倍以上。之后的优化(第2和第3个版本)，只能再优化少许。为了减少sqrt()，却增加了乘数和比较。
有趣的是，若打开/arch:SSE2
NoOperation hit=0% time=0.453s
IsPointInCircularSector hit=30.531% time=2.645s
NoOperation hit=0% time=0.401s
IsPointInCircularSector1 hit=30.531% time=0.29s
IsPointInCircularSector2 hit=30.531% time=0.32s
IsPointInCircularSector3 hit=30.531% time=0.455s
所有性能都提升了，但优化版本反而一直倒退。主要原因应该是SSE含sqrtss指令，能快速完成开平方运算，第2个和第3个版本所做的优化反而增加了指令及分支，而第3个版本更需要把SSE寄存器的值储存至普通寄在器做整数运算，造成更大损失。
优化版本4和5：SOA SIMD
由于编译器自动化的SSE标量可以提高性，进一步的，可采用SOA（struct of array）布局进行以4组参数为单位的SIMD版本。使用了SSE/SSE2 intrinsic的实现，一个版本使用_mm_sqrt_ps()，一个版本去除了_mm_sqrt_ps()：
// SSE2, SOA(struct of array) layout
// SSE2, SOA(struct of array) layout
__m128 IsPointInCircularSector4(
__m128 cx, __m128 cy, __m128 ux, const __m128& uy, const __m128& squaredR, const __m128& cosTheta,
const __m128& px, const __m128& py)
{
// D = P - C
__m128 dx = _mm_sub_ps(px, cx);
__m128 dy = _mm_sub_ps(py, cy);
// |D|^2 = (dx^2 + dy^2)
__m128 squaredLength = _mm_add_ps(_mm_mul_ps(dx, dx), _mm_mul_ps(dy, dy));
// |D|^2 < r^2
__m128 lengthResult = _mm_cmpgt_ps(squaredR, squaredLength);
// |D|
__m128 length = _mm_sqrt_ps(squaredLength);
// D dot U
__m128 DdotU = _mm_add_ps(_mm_mul_ps(dx, ux), _mm_mul_ps(dy, uy));
// D dot U > |D| cos(theta)
__m128 angularResult = _mm_cmpgt_ps(DdotU, _mm_mul_ps(length, cosTheta));
__m128 result = _mm_and_ps(lengthResult, angularResult);
return result;
}
// SSE2, SOA(struct of array) layout without sqrt()
__m128 IsPointInCircularSector5(
__m128 cx, __m128 cy, __m128 ux, const __m128& uy, const __m128& squaredR, const __m128& cosTheta,
const __m128& px, const __m128& py)
{
// D = P - C
__m128 dx = _mm_sub_ps(px, cx);
__m128 dy = _mm_sub_ps(py, cy);
// |D|^2 = (dx^2 + dy^2)
__m128 squaredLength = _mm_add_ps(_mm_mul_ps(dx, dx), _mm_mul_ps(dy, dy));
// |D|^2 < r^2
__m128 lengthResult = _mm_cmpgt_ps(squaredR, squaredLength);
// D dot U
__m128 DdotU = _mm_add_ps(_mm_mul_ps(dx, ux), _mm_mul_ps(dy, uy));
// D dot U > |D| cos(theta)
// <=>
// (D dot U)^2 > |D|^2 (cos(theta))^2 if D dot U >= 0 and cos(theta) >= 0
// (D dot U)^2 < |D|^2 (cos(theta))^2 if D dot U < 0 and cos(theta) < 0
// true if D dot U >= 0 and cos(theta) < 0
// false if D dot U < 0 and cos(theta) >= 0
__m128 asign = _mm_and_ps(DdotU, cSignMask.v);
__m128 bsign = _mm_and_ps(cosTheta, cSignMask.v);
__m128 equalsign = _mm_castsi128_ps(_mm_cmpeq_epi32(_mm_castps_si128(asign), _mm_castps_si128(bsign)));
__m128 lhs = _mm_or_ps(_mm_mul_ps(DdotU, DdotU), asign);
__m128 rhs = _mm_or_ps(_mm_mul_ps(squaredLength, _mm_mul_ps(cosTheta, cosTheta)), asign);
__m128 equalSignResult = _mm_cmpgt_ps(lhs, rhs);
__m128 unequalSignResult = _mm_castsi128_ps(_mm_cmpeq_epi32(_mm_castps_si128(asign), _mm_setzero_si128()));
__m128 result = _mm_and_ps(lengthResult, _mm_or_ps(
_mm_and_ps(equalsign, equalSignResult),
_mm_andnot_ps(equalsign, unequalSignResult)));
return result;
}
因为要以SIMD并行执行，不能分支。所有分支都要计算，然后再混合（blend）在一起。测试结果:
IsPointInCircularSector4 hit=30.531% time=0.121s
IsPointInCircularSector5 hit=30.531% time=0.177s
SOA的好处是移植简单，基本上只要把float改成__m128，然后用相应的intrinsic代替浮点四则运算便可。而且能尽用每指令4个数据的吞吐量（throughput）。如果用__m128表示二维矢量（或其他问题中的三维矢量），许多时候会浪费了一些吞吐量（例如在点积运算上）。
第4版本大约比之前最快的版本快近两倍，比没有/arch:SSE2最慢的版本快32倍。第5版本虽去除了开平方，在这个架构下还是得不偿失。
如果计上NoOperationSIMD的时间，SOA、对齐的内存访问方式，以及减少迭代数目，性能提高的幅度就更大。在实际应用中，通常比较难直套用这种内存布局，可能需要做转置（transpose）。对于开发高性能的子系统，在数据结构上可考虑直接储存为SOA。
其他可行方法
除了本文所述的方法，还可以用其他方法:
- 把 $\mathbf{p}$ 转换至扇形的局部坐标 $\mathbf{p}’$（如 $\mathbf{\hat{u}}$ 为局部坐标的$x$轴），然后再比较角度。这个是原来同事的做法。
- 利用二维的”叉积”(实际上叉积只定义于三维)去判断 $\mathbf{(p-v)}$ 是否在两边之内。但需要把$\mathbf{\hat{u}}$旋转$\pm \theta$来计算两边。另外，边与 $\mathbf{(p-v)}$ 的夹角可能大于 $\pi$ ，要小心处理。
- 查表。对于现在的机器来说，许多时候直接计算会比查表快，对于SOA来说，查表不能并行，更容易做成瓶颈。此外，查表要结合逻辑所需的精度，通用性会较弱。然言，对于某些应用场景，例如更复杂的运算、非常受限的处理单元（CPU/GPU/DSP等），查表还是十分有用的思路。
或许你还会想到其他方法。也可尝试用不同的扇形表示方式。
结语
这个看来非常简单的问题，也可以作不同尝试。在日常的工作中，可以改善的地方就更是数之不尽了。
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Milo Yip
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